含液体层的反射透射系数矩阵
当界面两侧存在液体时，边界条件变为 垂直位移连续，垂直应力连续，切向应力为0 ，此时使用 反射透射系数矩阵的另一种推导 介绍的方法，可以比较方便直观地推导含液体层的 R/T 矩阵。
以下推导以动态解为例，最终每一项系数的详细表达式我使用 Python 库 SymPy 辅助推导，可在这里下载 RT_liquid_formula.ipynb （ 预览 ）。
液体-液体界面
在液体层内，位移垂直波函数（仅P波）与位移应力矢量之间的关系可以表示为（略去角标 \(j\)）
(1)\[\begin{split}\begin{bmatrix}
w_m \\
\sigma_{Rm} \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a & -a \\
-\rho\omega^2 & -\rho\omega^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\phi_m^+ \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
相当于从固体情况的关系式中提取部分项，其中 \(2\mu\Omega\) 转变为
\[2\mu\Omega \rightarrow
\lim_{\beta \rightarrow 0} 2\beta^2\rho(k^2 - \dfrac{1}{2}k_\beta^2)
= -\rho\omega^2\]
为简单起见，我们假设界面位于第1/2层之间，根据边界条件，有
(2)\[\begin{split}\begin{bmatrix}
a_1 & -a_1 \\
-\rho_1\omega^2 & -\rho_1\omega^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^-(z_1^-) \\
\phi_m^+(z_1^-) \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_2 & -a_2 \\
-\rho_2\omega^2 & -\rho_2\omega^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^-(z_1^+) \\
\phi_m^+(z_1^+) \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
后续的 R/T 矩阵推导过程与固体-固体界面情况完全一样，只是矩阵元素和维度发生变化（但仍是方阵）。通过类似的对波入射方向的讨论，可以得到 R/T 矩阵满足（此时 R/T 矩阵已退化为 1x1 的标量）
(3)\[\begin{split}\begin{bmatrix}
T_U & R_D \\
R_U & T_D \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-a_1 & -a_2 \\
\rho_1\omega^2 & -\rho_2\omega^2 \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
-a_2 & -a_1 \\
\rho_2\omega^2 & -\rho_1\omega^2 \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
其中
(4)\[\begin{split}R_D &= \dfrac{a_1\rho_2 - a_2\rho_1}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\
R_U &= \dfrac{a_2\rho_1 - a_1\rho_2}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\
T_D &= \dfrac{2 a_1\rho_1}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\
T_U &= \dfrac{2 a_2\rho_2}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\\end{split}\]
在程序中为保持 2x2 矩阵，只将以上结果填充在对应位置即可，其余项为0，例如
\[\begin{split}\mathbf{R}_D^{2\times2} =
\begin{bmatrix}
R_D & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
液体-固体界面
我们使用角标 \(l\) 表示液体层，角标 \(s\) 表示固体层。当上层为液体，下层为固体时，根据边界条件，有
(5)\[\begin{split}\left[
\begin{array}{c|c}
a_l & -a_l \\
-\rho_l\omega^2 & -\rho_l\omega^2 \\
\hline
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\phi_m^-(z_1^-) \\
\hline
\phi_m^+(z_1^-) \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{cc|cc}
a_s & k & -a_s & k \\
2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\phi_m^- (z_1^+) \\
\psi_m^- (z_1^+) \\
\hline
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{array}
\right]\end{split}\]
其中上层液体层仅有 P 波垂直波函数（2x1），而下层固体层有的 P、SV 波垂直波函数，这直接表明此情况下的 R/T 矩阵形状不一，会存在 2x1、1x2 等的形状。
波从上向下入射
此时下层没有向上传播的入射波，即 \([\phi_m^- (z_1^+), \psi_m^- (z_1^+)]^T = \mathbf{0}\) ，(5) 式变为
(6)\[\begin{split}\left[
\begin{array}{c|c}
a_l & -a_l \\
-\rho_l\omega^2 & -\rho_l\omega^2 \\
\hline
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\phi_m^-(z_1^-) \\
\hline
\bbox[yellow] {\phi_m^+(z_1^-)} \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{cc}
-a_s & k \\
2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
-2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\begin{bmatrix}
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{bmatrix}\end{split}\]
其中高亮部分的垂直波函数为当前情况的“已知项”，通过移项+矩阵重排的方式可得到
(7)\[\begin{split}\left[
\begin{array}{c|cc}
-a_l & -a_s & k \\
\rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\phi_m^-(z_1^-) \\
\hline
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{c}
-a_l \\
-\rho_l\omega^2 \\
\hline
0
\end{array}
\right]
\left[\bbox[yellow]{\phi_m^+(z_1^-)}\right]\end{split}\]
其中等号左边矩阵前两列的负号由移项产生，此时左边的垂直波函数矢量（作为未知量）已经变成两层的混合版本，适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到
(8)\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^- (z_1^-) \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{R}_D^{1\times1}
\begin{bmatrix}
\bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\
\end{bmatrix}\end{split}\\\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{T}_D^{2\times1}
\begin{bmatrix}
\bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\
\end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
波从下向上入射
此时上层没有向下传播的入射波，即 \(\phi_m^+ (z_1^-) = 0\) ，(5) 式变为
(9)\[\begin{split}\left[
\begin{array}{c}
a_l \\
-\rho_l\omega^2 \\
\hline
0
\end{array}
\right]
\left[\phi_m^-(z_1^-)\right] =
\left[
\begin{array}{cc|cc}
a_s & k & -a_s & k \\
2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\
\bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\
\hline
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{array}
\right]\end{split}\]
其中高亮部分的垂直波函数同样为当前情况的“已知项”，为保持与 (7) 式的形式匹配，通过类似的移项+矩阵重排的方式可得到
(10)\[\begin{split}\left[
\begin{array}{c|cc}
-a_l & -a_s & k \\
\rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\phi_m^-(z_1^-) \\
\hline
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{cc|cc}
-a_s & -k \\
-2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
-2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\
\bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\
\end{array}
\right]\end{split}\]
矩阵中的负号由移项产生，等号左边形式与 (7) 式完全一致。同样该适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到
(11)\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^- (z_1^-) \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{T}_U^{1\times2}
\begin{bmatrix}
\bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\
\bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\
\end{bmatrix}\end{split}\\\begin{split}\begin{bmatrix}
\phi_m^+ (z_1^+) \\
\psi_m^+ (z_1^+) \\
\end{bmatrix} =
\mathbf{R}_U^{2\times2}
\begin{bmatrix}
\bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\
\bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\
\end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
合并求解
(7) 式和 (10) 式可合并，一并使用逆矩阵求得最终液体-固体界面上的 R/T 矩阵，
(12)\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\mathbf{T}_U^{1\times2} & \mathbf{R}_D^{1\times1} \\
\mathbf{R}_U^{2\times2} & \mathbf{T}_D^{2\times1} \\
\end{bmatrix}_{3\times3} =
\left[
\begin{array}{c|cc}
-a_l & -a_s & k \\
\rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\
\hline
0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[
\begin{array}{cc|c}
-a_s & -k & -a_l \\
-2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s & -\rho_l\omega^2\\
\hline
-2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s & 0 \\
\end{array}
\right]\end{split}\]
固体-液体界面
当上层为固体，下层为液体时，推导过程和 液体-固体界面 完全一致。这里仅给出最终的 R/T 矩阵满足的计算式，读者稍作推导即可验证，
(13)\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\mathbf{T}_D^{1\times2} & \mathbf{R}_U^{1\times1} \\
\mathbf{R}_D^{2\times2} & \mathbf{T}_U^{2\times1} \\
\end{bmatrix}_{3\times3} =
\left[
\begin{array}{c|cc}
a_l & a_s & k \\
\rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s \\
\hline
0 & 2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[
\begin{array}{cc|c}
a_s & -k & a_l \\
-2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & -\rho_l\omega^2\\
\hline
2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s & 0 \\
\end{array}
\right]\end{split}\]
之后的操作如增加时间延迟因子，广义 R/T 矩阵递推等不受影响。在程序中为保持 2x2 矩阵，只将以上结果填充在对应位置即可，其余项为0。