证明：当源点和场点均位于地表时，DS分量恒为0
动态解
为了方便推导，我们假设 场点位于源点下方 ，对应的 P-SV 位移核函数表达式为
(1)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \Rm{\mathbf{R}}
\def \Im{\mathbf{I}}
\def \Tm{\mathbf{T}}\\\begin{split}\begin{bmatrix}
q_m \\
w_m \\
\end{bmatrix}
=
\Rm_{EV} \left( \Im - \Rm_U^{SR} \Rm_D^{RL} \right)^{-1} \Tm_D^{SR} \left( \Im - \Rm_U^{FS} \Rm_D^{SL} \right)^{-1}
\bbox[yellow] {
\begin{bmatrix}
\begin{pmatrix}
P_m^+ \\
SV_m^+ \\
\end{pmatrix}
+
\Rm_U^{FS}
\begin{pmatrix}
P_m^- \\
SV_m^- \\
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
其中高亮部分是关键。由于场点和源点都位于地表，矩阵 \(\mathbf{R}_U^{FS}\) 退化为自由表面的反射系数矩阵 \(\tilde{\mathbf{R}}\) ，即
(2)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \Rm{\mathbf{R}}\\\begin{split}\Rm_U^{FS} \rightarrow \tilde{\Rm} = \dfrac{1}{\Delta}
\begin{bmatrix}
k^2ab + \Omega^2 & 2kb\Omega \\
2ka\Omega & k^2ab + \Omega^2 \\
\end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
其中 \(\Delta=k^2ab-\Omega^2\) ，\(\Omega = k^2 - k_\beta^2 / 2\) 。
对于 P-SV 波， DS 分量的震源系数为
(3)\[\begin{split}P_1 &= 2 \varepsilon k \\
SV_1 &= \dfrac{2k^2 - k_\beta^2}{b} \\\end{split}\]
其中 \(\varepsilon\) 为符号变量（对应 (1) 式中震源系数的上标正负号）。 只需将 (3) 式和 (2) 式代入 (1) 式，即可证明 (1) 式中高亮部分恒为0。
SH 波也有相同结论，此时自由界面的反射系数 \(\tilde{R}_L = 1\) ，DS 分量的震源系数为 \(\chi_1 = \dfrac{-\varepsilon k_\beta^2}{k}\) 。
静态解
证明过程和结论与动态解完全相同，这里列出证明会用到的自由界面反射系数矩阵和震源系数，读者可轻松证明。
自由界面的反射系数矩阵，其中 \(\Delta = \dfrac{\lambda + \mu}{\lambda + 3\mu}\) ：
(4)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \Rm{\mathbf{R}}\\\begin{split}\tilde{\Rm} &=
\begin{bmatrix}
0 & - \Delta \\
- \dfrac{1}{\Delta} & 0 \\
\end{bmatrix} \\
\tilde{R}_L &= 1\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
DS 分量的震源系数：
(5)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \eps{\varepsilon}
\def \D{\Delta}\\\begin{split}P_1 &= - \dfrac{\eps \D}{1 + \D} \\
SV_1 &= \dfrac{\eps }{1 + \D} \\
SH_1 &= \eps \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]