静力学单力源的震源系数
在 《理论地震图及其应用（初稿）》 以及相关文献中，已给出静力学位错震源的震源系数，这里不再重复。以下补充对应单力源的震源系数。
公式回顾
求解静力学震源系数的方法与动力学方法类似。在无外力情况下，静力学弹性波方程为
(1)\[(\lambda+2\mu) \nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) = 0\]
此时位移 \(\mathbf{u}\) 可使用三个线性独立的基本解表示，
(2)\[\mathbf{u} = \nabla \phi
+ \left\{
2 \dfrac{\partial\psi}{\partial z} \mathbf{e}_z -
\left[
1 + 2 \Delta (z-z_j)\dfrac{\partial}{\partial z}
\right] \nabla \psi
\right\}
+ \nabla \times (\chi \mathbf{e}_z)\]
其中 \(\Delta=\dfrac{\lambda+\mu}{\lambda+3\mu}\) ，位移势函数 \(\phi, \psi, \chi\) 满足Laplace方程，
(3)\[\begin{split}\nabla^2 \phi &= 0 \\
\nabla^2 \psi &= 0 \\
\nabla^2 \chi &= 0 \\\end{split}\]
在柱坐标系下，三个势函数的解可表示为
(4)\[\begin{split}\phi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \phi_m(k,z) J_m(kr) k dk
\\
\psi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \psi_m(k,z) J_m(kr) k dk
\\
\chi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty \chi_m(k,z) J_m(kr) k dk
\\\end{split}\]
其中垂直波函数
(5)\[\begin{split}\phi_m &= B_m e^{-k|z-z_j|} \\
\psi_m &= D_m e^{-k|z-z_j|} \\
\chi_m &= F_m e^{-k|z-z_j|} \\\end{split}\]
为方便求解，使用柱面谐矢量(vector cylindrical harmonics) \((\mathbf{B}_m, \mathbf{C}_m, \mathbf{P}_m)\) 表示位移 \(\mathbf{u}\) ，
(6)\[\mathbf{u} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty
( q_m(k,z) \mathbf{B}_m + i v_m(k,z) \mathbf{c}_m + w_m(k,z) \mathbf{P}_m ) k dk\]
其中，
(7)\[\begin{split}\mathbf{B}_m &= \left(\mathbf{e}_r \dfrac{\partial}{\partial kr} + \mathbf{e}_\theta \dfrac{1}{kr}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right) J_m(kr)e^{im\theta}
\\
\mathbf{C}_m &= \left(\mathbf{e}_r \dfrac{1}{kr}\dfrac{\partial}{\partial\theta} - \mathbf{e}_\theta \dfrac{\partial}{\partial kr}\right) J_m(kr)e^{im\theta}
\\
\mathbf{P}_m &= \mathbf{e}_z J_m(kr)e^{im\theta}\end{split}\]
(4) 式和 (6) 额外提出的虚数单位是为了后续方便定义方向因子。将 (2) 式和 (4) 式代入 (6) 式，得到系数 \(q_m, v_m, w_m\) 和垂直波函数之间的关系，
(8)\[\begin{split}q_m &= \phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j)\dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m
\\
w_m &= \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial\phi_m}{\partial z} + \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{\partial}{\partial z} - 2\Delta k^2 (z-z_j) \right] \psi_m
\\
v_m &= \chi_m
\\\end{split}\]
其中三个垂直波函数均吸收了 \(k\) 因子，即 \(\phi_m \leftarrow k\phi_m, \psi_m \leftarrow k\psi_m, \chi_m \leftarrow k\chi_m\) ，这会体现在后续的震源系数中。
为了求解震源系数，需将 无限均匀介质中集中脉冲力产生的静态位移场 部分的最终表达式展开成 (6) 的形式，对应的垂直波函数的系数 \((B_m, D_m, F_m)\) 即为震源系数。具体而言，我们可将位移同一分量的不同表达式进行对比得到震源系数。将 (8) 式代入 (6) 式，柱坐标系下的位移三分量表达式为
(9)\[\begin{split}u_r &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty
\left\{
\left\{
\phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j) \dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m
\right\} J_m^{'}(kr)
- \chi_m \dfrac{m}{kr} J_m(kr)
\right\} k dk
\\
u_\theta &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty
\left\{
\left\{
\phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j) \dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m
\right\} \dfrac{m}{kr} J_m(kr)
- \chi_m J_m^{'}(kr)
\right\} k dk
\\
u_z &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty
\left\{
\dfrac{1}{k} \dfrac{\partial\phi_m}{\partial z} + \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{\partial}{\partial z} - 2\Delta k^2 (z-z_j) \right] \psi_m
\right\} J_m(kr) k dk
\\\end{split}\]
再将 (5) 式代入，整理得到，
(10)\[\begin{split}u_r &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty
\left\{
\left[
(B_m - D_m) + 2\Delta\varepsilon k (z-z_j) D_m
\right] J_m^{'}(kr)
- F_m \dfrac{m}{kr} J_m(kr)
\right\} e^{-k|z-z_j|} k dk
\\
u_\theta &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty
\left\{
\left[
(B_m - D_m) + 2\Delta\varepsilon k (z-z_j) D_m
\right] \dfrac{m}{kr} J_m(kr)
- F_m J_m^{'}(kr)
\right\} e^{-k|z-z_j|} k dk
\\
u_z &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty
\left[-\varepsilon (B_m + D_m) - 2\Delta k (z-z_j) D_m \right]
J_m(kr) e^{-k|z-z_j|} k dk\end{split}\]
其中，
\[\begin{split}\varepsilon =
\begin{cases}
-1, \ \ &当 z < z_j 为上行波 \\
1, \ \ & 当 z > z_j 为下行波 \\
\end{cases}\end{split}\]
垂向力源的震源系数
当力的方向为 \(\mathbf{n}=\mathbf{e}_z\) 时，径向的静态位移为
(11)\[u_r = G_{13} \cos \theta + G_{23} \sin \theta = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \dfrac{r(z-z_j)}{R^3}\]
其中 \(r\) 为水平距离， \(R=\sqrt{r^2 + (z-z_j)^2}\) 为水平距离。根据Sommerfeld积分公式，有
(12)\[\dfrac{r(z-z_j)}{R^3} = \int_0^\infty k (z-z_j) \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_1(kr) k dk\]
将上式代入 (11) 式，利用Bessel函数的性质 \(J_0^{'}(x) = -J_1(x)\) ，得到径向位移的积分表达式
(13)\[u_r = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \int_0^\infty - (z-z_j) e^{-k|z-z_j|} J_0^{'}(kr) k dk\]
将上式与 (10) 式中的径向位移 \(u_r\) 表达式对比，得到震源系数
(14)\[\begin{split}B_0 &= D_0 = - \dfrac{\varepsilon}{8\pi\mu(1+\Delta)k} \\
F_0 &= 0\end{split}\]
为简化表达式和系数，将 (5) 式代入 (2) 式，结合以上解的具体形式，提出公共因子，整理得到势函数的表达式，
(15)\[\begin{split}\phi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=0}^{2} A_m(\theta) \int_0^\infty P_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk
\\
\psi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=0}^{2} A_m(\theta) \int_0^\infty SV_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk
\\
\chi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=1}^{2} A_{m+3}(\theta) \int_0^\infty SH_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk
\\\end{split}\]
其中方向因子为
(16)\[A_0 = 1\]
震源系数为
(17)\[\begin{split}P_0 &= SV_0 = - \dfrac{\varepsilon}{2(1+\Delta)k} \\
SH_0 &= 0\end{split}\]
水平力源的震源系数
当力的方向为 \(\mathbf{n}=\mathbf{e}_x\) 时，径向的静态位移为
(18)\[\begin{split}u_r &= G_{11} \cos \theta + G_{21} \sin \theta \\
&= \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \left( \dfrac{1}{\Delta R} \cos\theta + \dfrac{r^2\cos^2\theta}{R^3} \cos\theta + \dfrac{r^2\sin^2\theta}{R^3} \cos\theta \right) \\
&= \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \left( \dfrac{1}{\Delta R} + \dfrac{r^2}{R^3} \right) \cos\theta\end{split}\]
根据Sommerfeld积分公式，有
(19)\[\begin{split}\dfrac{1}{R} &= \int_0^\infty \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_0(kr) k dk \\
\dfrac{r^2}{R^3} &= \int_0^\infty \left[ 1 - \varepsilon k (z-z_j) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_0(kr) k dk\end{split}\]
利用Bessel函数的性质 \(J_0(x) = J_1^{'}(x) + \dfrac{1}{x} J_1(x)\) ，得到
(20)\[\begin{split}\dfrac{1}{R} &= \int_0^\infty \left[ J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk \\
\dfrac{r^2}{R^3} &= \int_0^\infty \left[ 1 - \varepsilon k (z-z_j) \right] \left[ J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk \\
&= \int_0^\infty
\left[
-\varepsilon k (z-z_j) J_1^{'}(kr) + \underline{J_1^{'}(kr) -\varepsilon k (z-z_j) \dfrac{1}{kr} J_1(kr)} + \dfrac{1}{kr} J_1(kr)
\right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk\end{split}\]
注意下划线的两项，以下使用分部积分法证明其积分为0，
(21)\[\begin{split}&\int_0^\infty J_1^{'}(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\
= &\int_0^\infty \dfrac{1}{r} e^{-k|z-z_j|} d J_1(kr) \\
= &\dfrac{1}{r} e^{-k|z-z_j|} J_1(kr) \Big|_0^\infty
+ \int_0^\infty \varepsilon (z-z_j) \dfrac{1}{r} J_1(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\
= &\int_0^\infty \varepsilon (z-z_j) \dfrac{1}{r} J_1(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\\end{split}\]
因此，
(22)\[\dfrac{r^2}{R^3} = \int_0^\infty
\left[
-\varepsilon k (z-z_j) J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr)
\right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk\]
(23)\[u_r = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \cos\theta \int_0^\infty
\left\{
\left[ \dfrac{1}{\Delta k} - \varepsilon (z-z_j) \right] J_1^{'}(kr)
+ \dfrac{1+\Delta}{\Delta} \dfrac{1}{k} \dfrac{1}{kr} J_1(kr)
\right\} e^{-k|z-z_j|} k dk\]
将上式与 (10) 式中的径向位移 \(u_r\) 表达式对比，得到震源系数
(24)\[\begin{split}B_1 &= - D_1 = \dfrac{1}{8\pi\mu(1+\Delta)k} \\
F_1 &= - \dfrac{1}{4\pi \mu k}\end{split}\]
(25)\[\begin{split}A_1 &= \cos\theta \\
A_4 &= - \sin\theta\end{split}\]
震源系数
(26)\[\begin{split}P_1 &= - SV_1 = \dfrac{1}{2 (1+\Delta)k} \\
SH_1 &= - \dfrac{1}{k}\end{split}\]
对比动态解的推导过程，静态解除了震源系数不同，方向因子均一致，后续的矩阵传播逻辑也一致，因此程序中动态解和静态解共享函数模块。