:author: 朱邓达 :date: 2025-05-10 :updated_date: 2025-09-13 静力学单力源的震源系数 =========================== 在 :ref:`《理论地震图及其应用（初稿）》 ` 以及相关文献中，已给出静力学位错震源的震源系数，这里不再重复。以下补充对应单力源的震源系数。 公式回顾 ----------------- 求解静力学震源系数的方法与动力学方法类似。在无外力情况下，静力学弹性波方程为 .. math:: :label: (\lambda+2\mu) \nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf{u}) = 0 此时位移 :math:`\mathbf{u}` 可使用三个线性独立的基本解表示， .. math:: :label: u_pot3 \mathbf{u} = \nabla \phi + \left\{ 2 \dfrac{\partial\psi}{\partial z} \mathbf{e}_z - \left[ 1 + 2 \Delta (z-z_j)\dfrac{\partial}{\partial z} \right] \nabla \psi \right\} + \nabla \times (\chi \mathbf{e}_z) 其中 :math:`\Delta=\dfrac{\lambda+\mu}{\lambda+3\mu}` ，位移势函数 :math:`\phi, \psi, \chi` 满足Laplace方程， .. math:: :label: \nabla^2 \phi &= 0 \\ \nabla^2 \psi &= 0 \\ \nabla^2 \chi &= 0 \\ 在柱坐标系下，三个势函数的解可表示为 .. math:: :label: pot3 \phi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \phi_m(k,z) J_m(kr) k dk \\ \psi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \psi_m(k,z) J_m(kr) k dk \\ \chi(r, \theta, z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty \chi_m(k,z) J_m(kr) k dk \\ 其中垂直波函数 .. math:: :label: pot_BDF \phi_m &= B_m e^{-k|z-z_j|} \\ \psi_m &= D_m e^{-k|z-z_j|} \\ \chi_m &= F_m e^{-k|z-z_j|} \\ 为方便求解，使用柱面谐矢量(vector cylindrical harmonics) :math:`(\mathbf{B}_m, \mathbf{C}_m, \mathbf{P}_m)` 表示位移 :math:`\mathbf{u}` ， .. math:: :label: u_qwv \mathbf{u} = \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty ( q_m(k,z) \mathbf{B}_m + i v_m(k,z) \mathbf{c}_m + w_m(k,z) \mathbf{P}_m ) k dk 其中， .. math:: :label: \mathbf{B}_m &= \left(\mathbf{e}_r \dfrac{\partial}{\partial kr} + \mathbf{e}_\theta \dfrac{1}{kr}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right) J_m(kr)e^{im\theta} \\ \mathbf{C}_m &= \left(\mathbf{e}_r \dfrac{1}{kr}\dfrac{\partial}{\partial\theta} - \mathbf{e}_\theta \dfrac{\partial}{\partial kr}\right) J_m(kr)e^{im\theta} \\ \mathbf{P}_m &= \mathbf{e}_z J_m(kr)e^{im\theta} :eq:`pot3` 式和 :eq:`u_qwv` 额外提出的虚数单位是为了后续方便定义方向因子。将 :eq:`u_pot3` 式和 :eq:`pot3` 式代入 :eq:`u_qwv` 式，得到系数 :math:`q_m, v_m, w_m` 和垂直波函数之间的关系， .. math:: :label: qwv_pot q_m &= \phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j)\dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m \\ w_m &= \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial\phi_m}{\partial z} + \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{\partial}{\partial z} - 2\Delta k^2 (z-z_j) \right] \psi_m \\ v_m &= \chi_m \\ 其中三个垂直波函数均吸收了 :math:`k` 因子，即 :math:`\phi_m \leftarrow k\phi_m, \psi_m \leftarrow k\psi_m, \chi_m \leftarrow k\chi_m` ，这会体现在后续的震源系数中。 为了求解震源系数，需将 :doc:`static_uniform` 部分的最终表达式展开成 :eq:`u_qwv` 的形式，对应的垂直波函数的系数 :math:`(B_m, D_m, F_m)` 即为震源系数。具体而言，我们可将位移同一分量的不同表达式进行对比得到震源系数。将 :eq:`qwv_pot` 式代入 :eq:`u_qwv` 式，柱坐标系下的位移三分量表达式为 .. math:: :label: u_r &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \left\{ \left\{ \phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j) \dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m \right\} J_m^{'}(kr) - \chi_m \dfrac{m}{kr} J_m(kr) \right\} k dk \\ u_\theta &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty \left\{ \left\{ \phi_m - \left[ 1 + 2\Delta(z-z_j) \dfrac{\partial}{\partial z} \right] \psi_m \right\} \dfrac{m}{kr} J_m(kr) - \chi_m J_m^{'}(kr) \right\} k dk \\ u_z &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \left\{ \dfrac{1}{k} \dfrac{\partial\phi_m}{\partial z} + \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{\partial}{\partial z} - 2\Delta k^2 (z-z_j) \right] \psi_m \right\} J_m(kr) k dk \\ 再将 :eq:`pot_BDF` 式代入，整理得到， .. math:: :label: u_BDF u_r &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \left\{ \left[ (B_m - D_m) + 2\Delta\varepsilon k (z-z_j) D_m \right] J_m^{'}(kr) - F_m \dfrac{m}{kr} J_m(kr) \right\} e^{-k|z-z_j|} k dk \\ u_\theta &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} i e^{im\theta} \int_0^\infty \left\{ \left[ (B_m - D_m) + 2\Delta\varepsilon k (z-z_j) D_m \right] \dfrac{m}{kr} J_m(kr) - F_m J_m^{'}(kr) \right\} e^{-k|z-z_j|} k dk \\ u_z &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{im\theta} \int_0^\infty \left[-\varepsilon (B_m + D_m) - 2\Delta k (z-z_j) D_m \right] J_m(kr) e^{-k|z-z_j|} k dk 其中， .. math:: \varepsilon = \begin{cases} -1, \ \ &当 z < z_j 为上行波 \\ 1, \ \ & 当 z > z_j 为下行波 \\ \end{cases} 垂向力源的震源系数 ---------------------- 当力的方向为 :math:`\mathbf{n}=\mathbf{e}_z` 时，径向的静态位移为 .. math:: :label: vert_ur u_r = G_{13} \cos \theta + G_{23} \sin \theta = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \dfrac{r(z-z_j)}{R^3} 其中 :math:`r` 为水平距离， :math:`R=\sqrt{r^2 + (z-z_j)^2}` 为水平距离。根据Sommerfeld积分公式，有 .. math:: :label: \dfrac{r(z-z_j)}{R^3} = \int_0^\infty k (z-z_j) \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_1(kr) k dk 将上式代入 :eq:`vert_ur` 式，利用Bessel函数的性质 :math:`J_0^{'}(x) = -J_1(x)` ，得到径向位移的积分表达式 .. math:: :label: u_r = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \int_0^\infty - (z-z_j) e^{-k|z-z_j|} J_0^{'}(kr) k dk 将上式与 :eq:`u_BDF` 式中的径向位移 :math:`u_r` 表达式对比，得到震源系数 .. math:: :label: B_0 &= D_0 = - \dfrac{\varepsilon}{8\pi\mu(1+\Delta)k} \\ F_0 &= 0 为简化表达式和系数，将 :eq:`pot_BDF` 式代入 :eq:`u_pot3` 式，结合以上解的具体形式，提出公共因子，整理得到势函数的表达式， .. math:: :label: pot_A_PS \phi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=0}^{2} A_m(\theta) \int_0^\infty P_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk \\ \psi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=0}^{2} A_m(\theta) \int_0^\infty SV_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk \\ \chi(r, \theta, z) &= \dfrac{1}{4\pi\mu} \sum_{m=1}^{2} A_{m+3}(\theta) \int_0^\infty SH_m(k,z) e^{-k|z-z_j|} J_m(kr) k dk \\ 其中方向因子为 .. math:: :label: A_0 = 1 震源系数为 .. math:: :label: P_0 &= SV_0 = - \dfrac{\varepsilon}{2(1+\Delta)k} \\ SH_0 &= 0 水平力源的震源系数 ------------------------- 当力的方向为 :math:`\mathbf{n}=\mathbf{e}_x` 时，径向的静态位移为 .. math:: :label: hori_ur u_r &= G_{11} \cos \theta + G_{21} \sin \theta \\ &= \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \left( \dfrac{1}{\Delta R} \cos\theta + \dfrac{r^2\cos^2\theta}{R^3} \cos\theta + \dfrac{r^2\sin^2\theta}{R^3} \cos\theta \right) \\ &= \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \left( \dfrac{1}{\Delta R} + \dfrac{r^2}{R^3} \right) \cos\theta 根据Sommerfeld积分公式，有 .. math:: :label: smfld_1R \dfrac{1}{R} &= \int_0^\infty \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_0(kr) k dk \\ \dfrac{r^2}{R^3} &= \int_0^\infty \left[ 1 - \varepsilon k (z-z_j) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} J_0(kr) k dk 利用Bessel函数的性质 :math:`J_0(x) = J_1^{'}(x) + \dfrac{1}{x} J_1(x)` ，得到 .. math:: :label: \dfrac{1}{R} &= \int_0^\infty \left[ J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk \\ \dfrac{r^2}{R^3} &= \int_0^\infty \left[ 1 - \varepsilon k (z-z_j) \right] \left[ J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk \\ &= \int_0^\infty \left[ -\varepsilon k (z-z_j) J_1^{'}(kr) + \underline{J_1^{'}(kr) -\varepsilon k (z-z_j) \dfrac{1}{kr} J_1(kr)} + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk 注意下划线的两项，以下使用分部积分法证明其积分为0， .. math:: :label: &\int_0^\infty J_1^{'}(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\ = &\int_0^\infty \dfrac{1}{r} e^{-k|z-z_j|} d J_1(kr) \\ = &\dfrac{1}{r} e^{-k|z-z_j|} J_1(kr) \Big|_0^\infty + \int_0^\infty \varepsilon (z-z_j) \dfrac{1}{r} J_1(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\ = &\int_0^\infty \varepsilon (z-z_j) \dfrac{1}{r} J_1(kr) e^{-k|z-z_j|} dk \\ 因此， .. math:: :label: smfld_r2R3 \dfrac{r^2}{R^3} = \int_0^\infty \left[ -\varepsilon k (z-z_j) J_1^{'}(kr) + \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right] \dfrac{e^{-k|z-z_j|}}{k} k dk 将 :eq:`smfld_1R` 式和 :eq:`smfld_r2R3` 式代入 :eq:`hori_ur` 式，得到 .. math:: :label: u_r = \dfrac{1}{4\pi \mu} \dfrac{\Delta}{1+\Delta} \cos\theta \int_0^\infty \left\{ \left[ \dfrac{1}{\Delta k} - \varepsilon (z-z_j) \right] J_1^{'}(kr) + \dfrac{1+\Delta}{\Delta} \dfrac{1}{k} \dfrac{1}{kr} J_1(kr) \right\} e^{-k|z-z_j|} k dk 将上式与 :eq:`u_BDF` 式中的径向位移 :math:`u_r` 表达式对比，得到震源系数 .. math:: :label: B_1 &= - D_1 = \dfrac{1}{8\pi\mu(1+\Delta)k} \\ F_1 &= - \dfrac{1}{4\pi \mu k} 同样将势函数表达成 :eq:`pot_A_PS` 式，得到方向因子 [#]_ .. math:: :label: A_1 &= \cos\theta \\ A_4 &= - \sin\theta 震源系数 .. math:: :label: P_1 &= - SV_1 = \dfrac{1}{2 (1+\Delta)k} \\ SH_1 &= - \dfrac{1}{k} 对比动态解的推导过程，静态解除了震源系数不同，方向因子均一致，后续的矩阵传播逻辑也一致，因此程序中动态解和静态解共享函数模块。 -------------------------------- .. [#] 水平力源的 :math:`A_4` 符号与 :ref:`《理论地震图及其应用（初稿）》 ` 中所使用的相反，对应的方向因子 :math:`SH_m` 也相反，这对最终位移计算结果无影响。