求解位移对 \(z\) 的偏导
求解应力、应变、旋转张量时需要求解偏导 \(\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial z}\) ，其本质只需要修改最终表达式中的“接收函数矩阵”即可。 推导过程其实也是推导z平面牵引力表达式的一部分。为了讲清推导过程，这里把一些公式再写一遍。
在 初稿 以及 反射透射系数矩阵的另一种推导 中已经提到，三分量位移可展开在柱面谐矢量坐标系下，
(1)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \Bm{\mathbf{B}_m}
\def \Cm{\mathbf{C}_m}
\def \Pm{\mathbf{P}_m}\\\begin{split}\mathbf{u} &= \sum_{m=0}^{\infty} \int_0^{\infty} \left( q_m \Bm + i v_m \Cm + w_m \Pm \right) k dk \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
根据势函数 \((\phi, \psi, \chi)\) 与位移的关系，以及柱面谐矢量的表达式，可以得到位移 \(\mathbf{u}\) 各分量的表达式，
(2)\[\begin{split}q_m &= k \phi_m + \dfrac{d \psi_m}{d z} \\
w_m &= \dfrac{d \phi_m}{d z} + k \psi_m \\
v_m &= k \chi_m \\\end{split}\]
上式两边对 \(z\) 求偏导，并根据垂直波函数的性质，同样引入 \(\epsilon\) 这个符号变量（\(z\) 正则正，\(z\) 负则负）
(3)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \parz#1{\dfrac{\partial #1}{d z}}\\\begin{split}\parz {q_m} &= -\epsilon ak \phi_m + b^2 \psi_m \\
\parz {w_m} &= a^2 \phi_m - \epsilon bk \psi_m \\
\parz {v_m} &= -\epsilon bk \chi_m \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
从而得到位移对 \(z\) 的偏导与垂直波函数之间的关系，
(4)\[ \begin{align}\begin{aligned}\def \parz#1{\dfrac{\partial #1}{d z}}\\\begin{split}\begin{bmatrix}
\parz {q_m} \\
\parz {w_m}
\end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
ak & b^2 & -ak & b^2 \\
a^2 & bk & a^2 & -bk \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\phi_m^- \\
\psi_m^- \\
\phi_m^+ \\
\psi_m^+ \\
\end{bmatrix} \\
\parz {v_m} &=
\begin{bmatrix}
bk & -bk \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\chi_m^- \\
\chi_m^+ \\
\end{bmatrix}\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
这样在计算位移对应的垂直波函数时，只需改用上式的接收函数矩阵，即可得到偏导 \(\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial z}\) 。