:author: 朱邓达 :date: 2025-06-23 :updated_date: 2025-08-19 含液体层的反射透射系数矩阵 ================================== 当界面两侧存在液体时，边界条件变为 **垂直位移连续，垂直应力连续，切向应力为0** ，此时使用 :doc:`RT` 介绍的方法，可以比较方便直观地推导含液体层的 R/T 矩阵。 以下推导以动态解为例，最终每一项系数的详细表达式我使用 Python 库 `SymPy `_ 辅助推导，可在这里下载 :download:`RT_liquid_formula.ipynb` （ :doc:`预览 ` ）。 液体-液体界面 ------------------ 在液体层内，位移垂直波函数（仅P波）与位移应力矢量之间的关系可以表示为（略去角标 :math:`j`） .. math:: :label: \begin{bmatrix} w_m \\ \sigma_{Rm} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -a \\ -\rho\omega^2 & -\rho\omega^2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^- \\ \phi_m^+ \\ \end{bmatrix} 相当于从固体情况的关系式中提取部分项，其中 :math:`2\mu\Omega` 转变为 .. math:: 2\mu\Omega \rightarrow \lim_{\beta \rightarrow 0} 2\beta^2\rho(k^2 - \dfrac{1}{2}k_\beta^2) = -\rho\omega^2 为简单起见，我们假设界面位于第1/2层之间，根据边界条件，有 .. math:: :label: \begin{bmatrix} a_1 & -a_1 \\ -\rho_1\omega^2 & -\rho_1\omega^2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^-(z_1^-) \\ \phi_m^+(z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 & -a_2 \\ -\rho_2\omega^2 & -\rho_2\omega^2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^-(z_1^+) \\ \phi_m^+(z_1^+) \\ \end{bmatrix} 后续的 R/T 矩阵推导过程与固体-固体界面情况完全一样，只是矩阵元素和维度发生变化（但仍是方阵）。通过类似的对波入射方向的讨论，可以得到 R/T 矩阵满足（此时 R/T 矩阵已退化为 1x1 的标量） .. math:: :label: \begin{bmatrix} T_U & R_D \\ R_U & T_D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 & -a_2 \\ \rho_1\omega^2 & -\rho_2\omega^2 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -a_2 & -a_1 \\ \rho_2\omega^2 & -\rho_1\omega^2 \\ \end{bmatrix} 其中 .. math:: :label: R_D &= \dfrac{a_1\rho_2 - a_2\rho_1}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\ R_U &= \dfrac{a_2\rho_1 - a_1\rho_2}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\ T_D &= \dfrac{2 a_1\rho_1}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\ T_U &= \dfrac{2 a_2\rho_2}{a_1\rho_2 + a_2\rho_1} \\ 在程序中为保持 2x2 矩阵，只将以上结果填充在对应位置即可，其余项为0，例如 .. math:: \mathbf{R}_D^{2\times2} = \begin{bmatrix} R_D & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} 液体-固体界面 ------------------ 我们使用角标 :math:`l` 表示液体层，角标 :math:`s` 表示固体层。当上层为液体，下层为固体时，根据边界条件，有 .. math:: :label: layer12 \left[ \begin{array}{c|c} a_l & -a_l \\ -\rho_l\omega^2 & -\rho_l\omega^2 \\ \hline 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \phi_m^-(z_1^-) \\ \hline \phi_m^+(z_1^-) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc|cc} a_s & k & -a_s & k \\ 2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline 2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \phi_m^- (z_1^+) \\ \psi_m^- (z_1^+) \\ \hline \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{array} \right] 其中上层液体层仅有 P 波垂直波函数（2x1），而下层固体层有的 P、SV 波垂直波函数，这直接表明此情况下的 R/T 矩阵形状不一，会存在 2x1、1x2 等的形状。 波从上向下入射 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 此时下层没有向上传播的入射波，即 :math:`[\phi_m^- (z_1^+), \psi_m^- (z_1^+)]^T = \mathbf{0}` ，:eq:`layer12` 式变为 .. math:: :label: \left[ \begin{array}{c|c} a_l & -a_l \\ -\rho_l\omega^2 & -\rho_l\omega^2 \\ \hline 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \phi_m^-(z_1^-) \\ \hline \bbox[yellow] {\phi_m^+(z_1^-)} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -a_s & k \\ 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} 其中高亮部分的垂直波函数为当前情况的“已知项”，通过移项+矩阵重排的方式可得到 .. math:: :label: U2D \left[ \begin{array}{c|cc} -a_l & -a_s & k \\ \rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline 0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \phi_m^-(z_1^-) \\ \hline \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -a_l \\ -\rho_l\omega^2 \\ \hline 0 \end{array} \right] \left[\bbox[yellow]{\phi_m^+(z_1^-)}\right] 其中等号左边矩阵前两列的负号由移项产生，此时左边的垂直波函数矢量（作为未知量）已经变成两层的混合版本，适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到 .. math:: :label: \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{R}_D^{1\times1} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{T}_D^{2\times1} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^+ (z_1^-)} \\ \end{bmatrix} 波从下向上入射 ~~~~~~~~~~~~~~~~ 此时上层没有向下传播的入射波，即 :math:`\phi_m^+ (z_1^-) = 0` ，:eq:`layer12` 式变为 .. math:: :label: \left[ \begin{array}{c} a_l \\ -\rho_l\omega^2 \\ \hline 0 \end{array} \right] \left[\phi_m^-(z_1^-)\right] = \left[ \begin{array}{cc|cc} a_s & k & -a_s & k \\ 2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline 2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \hline \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{array} \right] 其中高亮部分的垂直波函数同样为当前情况的“已知项”，为保持与 :eq:`U2D` 式的形式匹配，通过类似的移项+矩阵重排的方式可得到 .. math:: :label: D2U \left[ \begin{array}{c|cc} -a_l & -a_s & k \\ \rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline 0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \phi_m^-(z_1^-) \\ \hline \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc|cc} -a_s & -k \\ -2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline -2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{array} \right] 矩阵中的负号由移项产生，等号左边形式与 :eq:`U2D` 式完全一致。同样该适定方程可简单使用逆矩阵求解，得到 .. math:: :label: \begin{bmatrix} \phi_m^- (z_1^-) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{T}_U^{1\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_m^+ (z_1^+) \\ \psi_m^+ (z_1^+) \\ \end{bmatrix} = \mathbf{R}_U^{2\times2} \begin{bmatrix} \bbox[yellow] {\phi_m^- (z_1^+)} \\ \bbox[yellow] {\psi_m^- (z_1^+)} \\ \end{bmatrix} 合并求解 ~~~~~~~~~~ :eq:`U2D` 式和 :eq:`D2U` 式可合并，一并使用逆矩阵求得最终液体-固体界面上的 R/T 矩阵， .. math:: :label: \begin{bmatrix} \mathbf{T}_U^{1\times2} & \mathbf{R}_D^{1\times1} \\ \mathbf{R}_U^{2\times2} & \mathbf{T}_D^{2\times1} \\ \end{bmatrix}_{3\times3} = \left[ \begin{array}{c|cc} -a_l & -a_s & k \\ \rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s \\ \hline 0 & -2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{cc|c} -a_s & -k & -a_l \\ -2\mu_s\Omega_s & -2k\mu_s b_s & -\rho_l\omega^2\\ \hline -2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s & 0 \\ \end{array} \right] 固体-液体界面 ---------------- 当上层为固体，下层为液体时，推导过程和 `液体-固体界面`_ 完全一致。这里仅给出最终的 R/T 矩阵满足的计算式，读者稍作推导即可验证， .. math:: :label: \begin{bmatrix} \mathbf{T}_D^{1\times2} & \mathbf{R}_U^{1\times1} \\ \mathbf{R}_D^{2\times2} & \mathbf{T}_U^{2\times1} \\ \end{bmatrix}_{3\times3} = \left[ \begin{array}{c|cc} a_l & a_s & k \\ \rho_l\omega^2 & 2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s \\ \hline 0 & 2k\mu_s a_s & 2\mu_s\Omega_s \\ \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{cc|c} a_s & -k & a_l \\ -2\mu_s\Omega_s & 2k\mu_s b_s & -\rho_l\omega^2\\ \hline 2k\mu_s a_s & -2\mu_s\Omega_s & 0 \\ \end{array} \right] 之后的操作如增加时间延迟因子，广义 R/T 矩阵递推等不受影响。在程序中为保持 2x2 矩阵，只将以上结果填充在对应位置即可，其余项为0。